Introdução:O projeto inicial previa o estudo do livro [1] do primeiro ao décimo capítulo. Por sugestão da Comissão Avaliadora do Projeto, readequamos o projeto original para que desenvolvêssemos da seguinte forma:

1. Algumas motivações preliminares: O Teorema de Euler, Equivalências Topológicas,Superfícies, Espaços Abstratos, Um Teorema de classificação, Invariantes topológicos;

2. Continuidade e a construção da Curva de Peano;

3. Compacidade e conexidade;

4. Espaço quociente;

5. O grupo fundamental e aplicações: O Teorema do ponto fixo de Brower e o Teoremada Curva de Jordan.

Foram desenvolvidos os temas 1, 2, 3, 4 e o início do tema 5.

Objetivos: Com esse projeto, esperamos que o aluno assimile os conceitos matemáticos básicos que conduzem não somente ao bom entendimento da Topologia, mas também à diversas áreas da Matemática, bem como introduzir conceitos topológicos relevantes que poderão servir para estudos mais aprofundados posteriormente.

Metodologia: O projeto foi desenvolvido através de seminários semanais com duração de duas horas. A maioria dos seminários foi apresentado pelo aluno e alguns pelo professor.  Nesses seminários foram discutidos os temas propostos, dúvidas surgidas nesses temas e discussão dos exercícios resolvidos pelo aluno. Quase a totalidade dos exercícios, referentes aos temas abordados, propostos em [1] foram resolvidos pelo aluno. Além desses exercícios, o professor propunha outros nos encontros semanais. Estes encontros semanais ocorreram de forma presencial em 2019. Em 2020, com a necessidade de isolamento social, por conta da pandemia do covid-19, os encontros semanais foram realizados através do google-meet.

Resultados: Fizemos o estudo das motivações iniciais e contextualizações históricas, partimos para a formalização do conceito de topologia e espaço topológico, conjuntos fechados, vizinhança, ponto de acumulação, conjuntos densos, fronteira de um conjunto e base para topologia. Definimos cobertura de um conjunto, espaço compacto e assim vimos algumas propriedades. Entrando em topologia produto, vimos a definição e alguns teoremas, então verificamos que, o produto dos subespaços topológicos é igual ao subespaço do produto de espaços topológicos. Iniciamos o estudo a respeito dos espaços quocientes construindo a faixa de Möbius como exemplo para então definirmos a topologia quociente. Trabalhamos alguns teoremas, vimos a construção do cone de um espaço topológico e vimos o lema da colagem. Em grupos topológicos vimos quando a estrutura algébrica e a topológica são compatíveis em um espaço Hausdorfi, trabalhamos exemplos, vimos isomorfismo e subgrupos de grupos topológicos, alguns teoremas e então trabalhamos com espaços de órbitas. Por fim, iniciamos grupo fundamental, vendo homotopia.

Conclusões:Avaliamos que o presente projeto, após a readequação mencionada acima, foi realizado com sucesso. Mesmo com o estudo incompleto do item 5 (grupo fundamental eaplicações) todos os outros temas anteriores foram estudados com profundidade e solidificados com a resolução de boa parte dos exercícios, com vários níveis de dificuldade. A ocorrência da pandemia, junto com o isolamento social resultaram na desaceleração no ritmo de estudo, devido às várias readaptações a que todos tivemos de nos submeter. Mesmo assim, julgamos que o rendimento foi bastante satisfatório.